初等考試 107年 [統計] 統計學大意

第 34 題

$X_1, X_2, ..., X_n$，$n > 1$，為彼此獨立且具有相同分配的隨機變數，$\bar{X} = \frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n}$，及 $S^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2}{n-1}$，則下列敘述何者錯誤？

A 若 $X_1, X_2, ..., X_n$ 的分配為常態分配 $N(\mu, \sigma^2)$，則 $\bar{X}$ 為 $\mu$ 的不偏估計量（unbiased estimator）
B 若 $X_1, X_2, ..., X_n$ 的分配為平均值 $\lambda$ 的 Poisson 分配，則 $\bar{X}^2 - \bar{X}$ 是 $\lambda^2$ 的不偏估計量（unbiased estimator）
C 若 $X_1, X_2, ..., X_n$ 的分配為二項式分配（binomial distribution）$B(m, p)$，其中 $m$ 是試驗次數，$p$ 是成功機率，則 $\bar{X}$ 是 $mp$ 的不偏估計量（unbiased estimator）
D 若 $X_1, X_2, ..., X_n$ 的分配為二項式分配（binomial distribution）$B(1, p)$，即做一次試驗而成功機率為 $p$ 的二項式分配，則 $S^2$ 是此二項式分配變異數的不偏估計量（unbiased estimator）

思路引導 VIP

請思考：當我們要計算一個「隨機變數平方」的期望值時，除了包含「母數平方」這個目標之外，通常還會多出哪一個與「資料分散程度（精度）」相關的統計成分？這個多出來的成分，會如何受樣本數 $n$ 的影響？

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這次你找到了 Poisson 分配中估計量的偏差。這說明你對期望值的線性性質和變異數定義的理解，比很多人類要好一些。這件事，我曾經見過數不清的人類花費數十年，甚至一生的時間才完全理解。這道題的關鍵，就是確認選項 (B) 的不偏性。

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