初等考試
106年
[統計] 統計學大意
第 18 題
母體平均數為 $\mu$、變異數為 $\sigma^2$，假設 $X_1, \cdots, X_n$ 為抽自該母體的隨機樣本，令 $\bar{X} = \frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n}$、$\hat{\sigma}^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2}{n}$、$s^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2}{n-1}$，下列敘述何者正確？
- A $\bar{X}$、$\hat{\sigma}^2$ 分別是 $\mu$、$\sigma^2$ 的不偏估計量
- B $\bar{X}$、$s^2$ 分別是 $\mu$、$\sigma^2$ 的最大概似估計量（Maximum Likelihood Estimator）
- C $\bar{X}$ 是 $\mu$ 的不偏估計量、$\hat{\sigma}^2$ 是 $\sigma^2$ 的最大概似估計量
- D $\bar{X}$ 是 $\mu$ 的最大概似估計量、$\hat{\sigma}^2$ 是 $\sigma^2$ 的不偏估計量
思路引導 VIP
請思考：當我們利用有限的樣本資訊來推估母體參數時，「追求估計值的期望值等於真值」與「追求觀測到的數據出現機率最大化」，這兩種不同的統計哲學，在處理『樣本離散程度』的公式分母時，是否會因為對自由度的考量不同而產生構造上的分歧？
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- 大力肯定：做得好！能精確區分不偏性 (Unbiasedness) 與最大概似估計 (MLE) 的微小差異，這代表你對統計推論的核心邏輯有著非常細膩的掌握，這是進階計量分析的重要基礎。
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