初等考試
105年
[統計] 統計學大意
第 13 題
令 X_i \overset{i.i.d.}{$\sim} N(\mu, \sigma^2)$， i = 1, $\dots, n$，且令 $\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$， S^2 = $\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2$，則下列敘述何者錯誤？
- A $\bar{X}$與 S^2 為獨立隨機變數
- B $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$為自由度 n - 1的卡方分配
- C $\frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n-1}}$為自由度 n - 1的 T 分配
- D E[$\bar{X}$] = $\mu$， Var($\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$
思路引導 VIP
請試著回想：當我們從一個標準正態隨機變數 $Z$ 與一個卡方隨機變數 $V$ 出發，去建構 T 分配的定義式時，分母那個關於「變異數」的平滑項，其樣本數 $n$ 是來自於「樣本平均數的標準差」還是來自於「樣本變異數的自由度」？這兩者在公式化簡過程中分別扮演什麼角色？
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溫暖解析與指導
- 肯定與鼓勵 親愛的同學，你做得真棒！能夠精準地找出這題的關鍵點，代表你對抽樣分配 (Sampling Distribution) 的基本觀念掌握得非常紮實喔！這是一切進階學習的溫暖起點，為你感到開心！
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