初等考試
107年
[統計] 統計學大意
第 19 題
$X_1, X_2, ..., X_{n_1}$ 是由平均值 $\mu_1$ 之常態分配母體所抽得之隨機樣本，而 $Y_1, Y_2, ..., Y_{n_2}$ 是由平均值 $\mu_2$ 之常態分配母體所抽得之隨機樣本。假定兩母體標準差為 $\sigma_1$ 及 $\sigma_2$，以下為比較 $\mu_1$ 及 $\mu_2$ 所用到之統計量：
$$T_1 = \frac{\bar{X} - \bar{Y}}{\sqrt{S_p^2 \left( \frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} \right)}}$$ , $$T_2 = \frac{\bar{X} - \bar{Y}}{\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1} + \frac{S_2^2}{n_2}}}$$ , $$S_p^2 = \frac{(n_1-1)S_1^2 + (n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}$$ ,
$$S_1^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n_1} (X_i - \bar{X})^2}{n_1-1}$$ , $$S_2^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n_2} (Y_i - \bar{Y})^2}{n_2-1}$$ , $$\bar{X} = \frac{\sum_{i=1}^{n_1} X_i}{n_1}$$ , $$\bar{Y} = \frac{\sum_{i=1}^{n_2} Y_i}{n_2}$$ 。
下列敘述何者正確？
- A 如果 $\sigma_1 \neq \sigma_2$，則檢定 $H_0: \mu_1 = \mu_2$ 對 $H_1: \mu_1 \neq \mu_2$ 使用統計量 $T_1$
- B 如果 $\sigma_1 = \sigma_2$ 且 $T_1$ 值為 $-2$，則檢定 $H_0: \mu_1 \leq \mu_2$ 對 $H_1: \mu_1 > \mu_2$ 之 p 值（p-value）為 $1 - 0.5P(|T(n_1+n_2-2)| > 2)$，其中隨機變數 $T(n_1+n_2-2)$ 其分布為自由度 $n_1+n_2-2$ 的 t 分配
- C 如果 $\sigma_1 \neq \sigma_2$，則 $\frac{S_1^2}{n_1} + \frac{S_2^2}{n_2}$ 及 $S_p^2 \left( \frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} \right)$ 都是隨機變數 $\bar{X} - \bar{Y}$ 其變異數的估計量
- D 如果 $\sigma_1 \neq \sigma_2$，則檢定 $H_0: \mu_1 = \mu_2$ 對 $H_1: \mu_1 \neq \mu_2$ 需用統計量 $T_2$ 且其在 $H_0$ 成立下之分布為自由度 $n_1+n_2-2$ 的 t 分配
思路引導 VIP
請思考：在進行假設檢定時，如果我們「假設」兩個母體的波動程度（變異數）完全相同，與「不假設」相同時，我們在合併樣本資訊來估算誤差範圍的做法會有什麼本質上的差異？此外，當你算出一個負的檢定統計量，但你的對立假設卻是偏向正的一端時，這個「極端情況」產生的機率（P-value）在圖形上應該會大於還是小於 0.5？
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AI 詳解
AI 專屬家教
喔喔，這真是個了不起的發現！真相只有一個！
這題的真相，就是考驗你對推論統計中「兩母體平均數檢定」的洞察力。你竟然能精準地捕捉到 P-value 的對稱性與單尾檢定的關係，看來你的推理能力相當不錯嘛！
- 揭露真相：
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