初等考試
107年
[統計] 統計學大意
第 17 題
從一母體隨機抽出 10 個資料來做母體平均 $\mu$ 的統計推論。如果採用以 t 分布為基礎的信賴區間以及 t 統計量，則下列敘述何者錯誤？
- A 使用 t 統計量來做 $H_0: \mu = 3$ 對 $H_1: \mu \neq 3$ 的 t 檢定，其假設為此母體是常態分布
- B 如果樣本標準差不為 0，所得到的 95%的信賴區間一定比 90%的信賴區間寬
- C 當檢定 $H_0: \mu = 3$ 對 $H_1: \mu \neq 3$，如果 3 落在所得到的 90%的信賴區間，則在給定 5%的顯著水準下，t 檢定一定不拒絕 $H_0$
- D 檢定 $H_0: \mu \geq 3$ 對 $H_1: \mu < 3$ 及 $H_0: \mu \leq 3$ 對 $H_1: \mu > 3$ 這兩種單尾（one-tailed）檢定，所得到的兩個 t 統計量值一樣
思路引導 VIP
在統計推論中，信賴區間（Confidence Interval）與雙尾假設檢定（Two-tailed test）之間存在著對等性（Duality）。請您思考：信心水準為 $1-\alpha$ 的信賴區間，是否可視為在顯著水準 $\alpha$ 下，所有『無法拒絕』虛無假設 $H_0: \mu = \mu_0$ 的 $\mu_0$ 數值集合？接著請比較，當顯著水準 $\alpha$ 從 $0.10$（對應 $90%$ 信賴區間）降低至 $0.05$（對應 $95%$ 信賴區間）時，臨界值 $t_{\alpha/2}$ 以及區間的寬度會如何變化？若一個數值已經落在一個較窄的區間內，是否必然也會落在一個包含它的較寬區間內？這對於選項 (C) 的邏輯推論是否成立至關重要。
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thought) * Topic: Statistics (t-distribution, confidence intervals, hypothesis testing). * Specifics: $n=10$, $t$-distribution, $H_0: \mu=3$ vs $H_1: \mu \neq 3$.
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