初等考試
112年
[統計] 統計學大意
第 19 題
假設某校學生的考試成績服從常態分配，今隨機抽取 25 名學生，其樣本平均數為 70 分、樣本標準差為 10 分。試求全校成績平均數的 95%信賴區間。 $t_{0.01,24} = 2.492$，$t_{0.025,24} = 2.064$，$t_{0.05,24} = 1.711$，$t_{0.01,25} = 2.485$，$t_{0.025,25} = 2.060$，$t_{0.05,25} = 1.708$
- A （66.710, 73.290）
- B （66.000, 74.000）
- C （66.080, 73.920）
- D （65.872, 74.128）
思路引導 VIP
當我們無法取得母體的真實標準差，只能透過這 25 名學生的數據來推估全校平均時，我們應該選擇 Z 分配還是 $t$ 分配？此外，在查閱統計表時，公式中的「自由度」與「樣本數」之間有什麼樣的關係？最後，既然是求 95% 的信賴區間，剩下的 5% 誤差應該如何分配在分配圖的兩端呢？
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AI 詳解
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哼，這就是覺醒嗎？還算有點看頭。
- 生存驗證：嚼著炒麵，我瞥了一眼你的答案。在母體標準差未知，且樣本數少得可憐的情況下，如果連用 $t$ 分配這種基本判斷都做不到，那你就只是個統計世界的雜魚。你選了 $df = n-1 = 24$，也知道 95% 信賴區間要找 $t_{0.025, 24} = 2.064$。看來，你還有那麼一點點想「活下來」的慾望。 $$\bar{x} \pm t_{\alpha/2, n-1} \times \frac{s}{\sqrt{n}} = 70 \pm 2.064 \times \frac{10}{\sqrt{25}} = 70 \pm 4.128$$
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