初等考試
112年
[統計] 統計學大意
第 12 題
假設一所學校有 20 個班級：其中 16 個班級有 25 名學生、3 個班級有 100 名學生、1 個班級有 300 名學生，總共有 1000 名學生。從這 1000 名學生中隨機選擇 1 名學生。令隨機變數 X 等於該學生所屬的班級之學生人數。求 X 的期望值。
- A 50
- B 100
- C 85
- D 130
思路引導 VIP
想像一下，如果你在公車站隨機訪問乘客，問他們所搭乘的那班公車上有多少人。比起只有 1 人的空車，你是不是更有可能遇到坐在擠滿 50 人公車裡的乘客？這對於你決定每個數據點的「出現機率」時，應該如何分配權重？
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- 觀念驗證：這題的關鍵在於辨別抽樣單位。題目是從「學生」中隨機抽選，因此抽到某種班級規模的機率，取決於該規模下的「總學生數」而非「班級數」。這在統計學上稱為長度偏差抽樣（Length-biased sampling）。計算公式如下： $$E[X] = 25 \times \frac{400}{1000} + 100 \times \frac{300}{1000} + 300 \times \frac{300}{1000} = 130$$
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