普考申論題 105年 [天文] 普通物理學概要

第一題

📖 題組：
四、有一截面積為 A、長度為 L、每單位長度繞了 n 圈電線之螺線管線圈，若通以 I 的電流，並在其內部填入磁性物質，使其內部的磁場增加為 K 倍。

📝 此題為申論題，共 3 小題

小題 (一)

試求其電感。（5 分）

看到求電感的題目，應立即聯想電感定義式 L = NΦ/I。解題時依序求出三個關鍵物理量：內部磁場 B（注意乘以介質倍數 K）、單圈磁通量 Φ = BA，以及總圈數 N = nL，最後代入定義式即可輕鬆消去電流 I 得到答案。

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【解題思路】利用電感的定義式 $\mathcal{L} = \frac{N\Phi_B}{I}$，先求出含磁性物質的螺線管內部磁場，再計算總磁通量並代入定義式即可求得。【詳解】已知：

試利用磁場能量密度求螺線管所儲存之磁能。（10 分）

看到此題，應先聯想磁性介質對磁場與磁導率的影響（B = K B₀ 且 μ = Kμ₀）。解題核心在於寫出正確的磁能密度公式 u_B = B² / (2μ)，計算出單位體積的能量後，對均勻磁場的螺線管總體積（V = AL）進行積分（相乘），即可求得總磁能。

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【解題思路】利用安培定律找出含介質之螺線管內部磁場，套用磁能密度公式 $u_B = \frac{B^2}{2\mu}$ 後，再對全體積進行積分求得總儲存磁能。【詳解】已知：

若將二個相同的螺線管線圈並聯，試求其等效電感。（5 分）

看到螺線管求等效電感，應先由磁場、磁通量與自感的定義式出發，推導出單一填入磁性物質之螺線管的自感量公式。接著套用基本電路學的電感並聯公式（假設無互感），即可求得最終的等效電感。

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【解題思路】先由安培定律與磁通量定義推導單一含磁芯螺線管之自感值，再利用電感並聯公式求出等效電感。【詳解】已知：