普考申論題
105年
[機械工程] 機械力學概要
第 四 題
如圖所示，一質量M = 200 g 的玩具車，由距離軌道最低處為 h 的高度自由釋放後，剛好可以沿著軌道繞行圓環一周而不會落下。假設摩擦效應和玩具車的幾何尺寸可忽略不計，試求高度 h 應為多少公尺？（20 分）
📝 此題為申論題
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這是一道經典的「質點動力學與功-能定理」綜合題。看到「自由釋放」與「繞行圓環一周而不會落下」，腦中必須立刻浮現兩個概念：1. 圓周運動的臨界條件；2. 力學能守恆。解題順序如下：首先，分析「剛好不會落下」的物理意義，也就是在圓環最高點時，軌道對車體的正向力 N 剛好為零（N=0），此時僅靠重力提供向心力（mg = mv^2/R），由此可求出過最高點所需的最小速度。接著，設定基準位能面（通常設於軌道最低點），利用釋放點與圓環最高點之間的「力學能守恆」（mgh = mg(2R) + 0.5m*v^2），將剛剛算出的速度代入，即可找出 h 與 R 的關係式（h = 2.5R）。最後，從圖中讀取環的直徑（400 mm），換算成半徑 R（0.2 m）並代入求出 h 值。
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【考點分析】 本題考查動力學中的兩大核心概念：「圓周運動之向心力與臨界條件分析」以及「力學能守恆定律（Conservation of Mechanical Energy）」。 【理論/法規依據】
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鉛直圓周運動分析
💡 運用最高點臨界速度條件與力學能守恆，求解釋放高度。
🔗 鉛直圓周運動解題邏輯鏈
- 1 判定最高點臨界 — N=0 時，mg=mv²/R，求得 v²=gR
- 2 力學能守恆列式 — mgh = 0.5mv² + mg(2R)
- 3 代換求出高度比 — 將 v² 代入，得 h = 0.5R + 2R = 2.5R
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🔄 延伸學習：若欲求最低點正向力，需重新代入能量守恆求解該點速度。
