高考申論題
105年
[化學工程] 物理化學(包括化工熱力學)
第 一 題
📖 題組：
一個規律的兩成分溶液（regular binary solution）之過量熱焓 HE = nξRTxA xB，過量熵 SE = 0，每莫耳的混合 Gibbs 能量為 Δmix Gm = RT(xA ln xA + xB ln xB + ξ xA xB)。然而，當 ξ 大於 2 時，Δmix Gm 會出現兩個數學上的最小值，對應兩個溶液組成：x_A^α 與 x_A^β。如果有一個混合液，其總組成為 x_A^total，並且 x_A^α < x_A^total < x_A^β。那麼，如果 Δmix Gm^α 與 Δmix Gm^β 都是小於零，這個混合液系統就會分成兩相：α 相與 β 相。 現在有一個混合液系統 x_A^total = 0.40，ξ = 3.0，總莫耳數為 1 莫耳，也就是 n^α + n^β = 1.0 mole，溫度為 25℃。（每小題 5 分，共 15 分） (一) 分別計算 x_A^α 與 x_A^β，以及這兩個相的莫耳數 n^α 與 n^β。 (二) 分別計算 Δmix Gm^α 與 Δmix Gm^β，單位為：J mol⁻¹。 (三) 計算這 1 莫耳混合液，從單一個相分離成兩個溶液相的 Gibbs 能量的變化量：ΔGone phase → two phases = Δmix Gtwo phases α+β - Δmix Gone phase of x_A = 0.40，以公制表示，單位為：J。
一個規律的兩成分溶液（regular binary solution）之過量熱焓 HE = nξRTxA xB，過量熵 SE = 0，每莫耳的混合 Gibbs 能量為 Δmix Gm = RT(xA ln xA + xB ln xB + ξ xA xB)。然而，當 ξ 大於 2 時，Δmix Gm 會出現兩個數學上的最小值，對應兩個溶液組成：x_A^α 與 x_A^β。如果有一個混合液，其總組成為 x_A^total，並且 x_A^α < x_A^total < x_A^β。那麼，如果 Δmix Gm^α 與 Δmix Gm^β 都是小於零，這個混合液系統就會分成兩相：α 相與 β 相。 現在有一個混合液系統 x_A^total = 0.40，ξ = 3.0，總莫耳數為 1 莫耳，也就是 n^α + n^β = 1.0 mole，溫度為 25℃。（每小題 5 分，共 15 分） (一) 分別計算 x_A^α 與 x_A^β，以及這兩個相的莫耳數 n^α 與 n^β。 (二) 分別計算 Δmix Gm^α 與 Δmix Gm^β，單位為：J mol⁻¹。 (三) 計算這 1 莫耳混合液，從單一個相分離成兩個溶液相的 Gibbs 能量的變化量：ΔGone phase → two phases = Δmix Gtwo phases α+β - Δmix Gone phase of x_A = 0.40，以公制表示，單位為：J。
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
分別計算 x_A^α 與 x_A^β，以及這兩個相的莫耳數 n^α 與 n^β。
思路引導 VIP
規律溶液（Regular solution）的混合吉布斯自由能曲線在相互作用參數 ξ > 2 時會呈現雙重極小值且具對稱性。首先對 Δmix Gm 偏微分求極值找出兩相組成（這是一個超越方程式，需藉由對稱性與數值法求解），接著利用質傳平衡的「槓桿原理（Lever Rule）」即可精確計算兩相各自的莫耳數。
小題 (二)
分別計算 Δmix Gm^α 與 Δmix Gm^β，單位為：J mol⁻¹。
思路引導 VIP
本題重點在於將第一小題求得之相平衡組成代入混合 Gibbs 能量方程式。由於規律溶液模型對稱，兩相的混合 Gibbs 能量必相等。計算時需留意溫度須轉為絕對溫度 298.15 K，並確保對數及乘積的有效位數精確度。
小題 (三)
計算這 1 莫耳混合液，從單一個相分離成兩個溶液相的 Gibbs 能量的變化量：ΔGone phase → two phases = Δmix Gtwo phases α+β - Δmix Gone phase of x_A = 0.40，以公制表示，單位為：J。
思路引導 VIP
面對相分離熱力學題型，首先應意識到系統會自發朝向總Gibbs自由能最低的狀態發展。本題關鍵在於分別計算「假設維持單一相」與「實際分離成兩相（平衡態）」時的混合Gibbs自由能，兩者之差即為相分離的熱力學驅動力（必須為負值才代表自發）。其中，兩相平衡的總自由能可由共切線（Common tangent）與槓桿定理求得。