高考申論題
105年
[工業工程] 作業研究
第 三 題
三、請將下列非線性規劃數學模式改寫為整數線性規劃數學模式，清楚定義決策變數、目標式與相關限制式。（不須求解）（25 分）
Maximize：Z = x1^2 + x2x3 − x3^3
Subject to：− 2x1 + 3x2 + x2x3 ≤ 7
x1, x2, x3 ∈ {0, 1}
Maximize：Z = x1^2 + x2x3 − x3^3
Subject to：− 2x1 + 3x2 + x2x3 ≤ 7
x1, x2, x3 ∈ {0, 1}
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
看到二元變數（0-1變數）的非線性規劃，首先利用其特性 x^n = x 消除高次方項。接著針對變數相乘項（如 x2x3），必須引入新的二元輔助變數替換，並加入標準的線性化限制式確保邏輯等價。
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【解題思路】利用二元變數之冪次恆等性（x^n = x）及引入輔助變數進行乘積項線性化（Linearization of products）。 【詳解】 一、處理高次冪非線性項：
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二元變數線性化技巧
💡 利用二元變數特性，將高次冪與乘積項轉換為線性整數規劃式。
🔗 二元非線性項線性化三步驟
- 1 冪次降次 — 直接將 $x^n$ 改寫為 $x$，簡化目標式與限制式。
- 2 乘積替換 — 設定輔助變數 $y = x_i x_j$ 替換所有相乘項。
- 3 增列邊界 — 加入三條線性限制式鎖定 $y$ 的邏輯數值與變數宣告。
↓
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🔄 延伸學習：延伸學習：當多個二元變數相乘時，需擴展為 $y \ge \sum x_i - (n-1)$ 的形式。
