高考申論題
105年
[工業工程] 工程統計學與品質管制
第 六 題
📖 題組：
表 3 第三、四行列出太陽系九大行星之公轉週期 x（定義為：行星繞太陽的週期，單位：天）與軌道的平均半徑 y（定義為：行星繞太陽的橢圓長軸半長，單位：10^9 cm）。使用線性迴歸算出 x 與 y 的關係：yˆ = 340 + 0.0655x，i = 1, 2, ..., 9。表 3 最右一行是迴歸值與真實值的誤差（ei = yi - yˆi，i = 1, 2, ..., 9）。表 4 為迴歸之相關 ANOVA 表，圖 1 提供與誤差相關的資料。根據以上太陽系九大行星相關的圖與表中之資料，回答下列問題，並說明理由：（每小題 5 分，共 30 分）
表 3 第三、四行列出太陽系九大行星之公轉週期 x（定義為：行星繞太陽的週期，單位：天）與軌道的平均半徑 y（定義為：行星繞太陽的橢圓長軸半長，單位：10^9 cm）。使用線性迴歸算出 x 與 y 的關係：yˆ = 340 + 0.0655x，i = 1, 2, ..., 9。表 3 最右一行是迴歸值與真實值的誤差（ei = yi - yˆi，i = 1, 2, ..., 9）。表 4 為迴歸之相關 ANOVA 表，圖 1 提供與誤差相關的資料。根據以上太陽系九大行星相關的圖與表中之資料，回答下列問題，並說明理由：（每小題 5 分，共 30 分）
📝 此題為申論題，共 6 小題
小題 (六)
此迴歸式的誤差值是否為獨立？
思路引導 VIP
檢驗迴歸誤差的獨立性，首要觀察「殘差對觀測順序圖（Versus Order Plot）」。若圖中殘差點圍繞著 0 呈隨機且無規律地散佈，則符合獨立性假設；若出現明顯的趨勢、曲線或連續的正負群聚現象，則代表殘差間存在自相關性，違反獨立性。
小題 (一)
請估計潛在製程能力、實際製程能力，並計算 Cpm，Cpkm。（15 分）
思路引導 VIP
解題關鍵在於先透過已知全距平均數 (R̄) 與對應的管制圖常數 (d2) 來估計製程標準差 (σ̂ = R̄ / d2)。接著，確認規格上下限 (USL/LSL) 與目標值 (T=50)，最後直接代入四大製程能力指標 (Cp, Cpk, Cpm, Cpkm) 的公式進行計算即可。
小題 (二)
請針對上述幾個製程能力指標的數值進行評述。（5 分）
思路引導 VIP
看到「評述製程能力指標」，應先計算出核心指標（如 Cp、Cpk 與 Ca），再依據數值標準（如大於 1.0 或 1.33）進行診斷。評述時需分別點出「製程準確度（Ca）」與「製程精密度（Cp）」的狀況，並給出針對性的改善建議。
小題 (三)
列出 MSR 與 MSE之值（表 4 第四行）。
思路引導 VIP
考生看到此題應直接聯想 ANOVA 表的基本結構與計算原理。均方（Mean Square, MS）的定義為平方和（Sum of Squares, SS）除以對應的自由度（Degrees of Freedom, DF），直接代入表 4 中 Regression 與 Residual Error 的數據計算即可。
小題 (四)
列出 ANOVA 表中虛無與對立假設。
思路引導 VIP
看到簡單線性迴歸的 ANOVA 表，首先應聯想到這是在檢定整體迴歸模型是否具備顯著的解釋能力。在只有單一自變數的簡單線性迴歸中，這等同於檢定母體迴歸斜率參數 β1 是否等於 0。
小題 (五)
根據 ANOVA 表中最後兩列的值（F and P），針對上小題之虛無與對立假設作出結論。
思路引導 VIP
本題考查線性迴歸 ANOVA 表中 F 檢定與 P 值的判讀。首先需明確迴歸檢定的虛無假設（斜率為零）與對立假設，再根據 P 值與常用顯著水準（如 0.05）的比較結果，判斷是否拒絕虛無假設並給出統計結論。