第 一 題

本題測驗簡單線性迴歸（Simple Linear Regression）中「最小平方法（Least Squares Method）」的手工運算。首先應列表整理 X, Y, X^2, Y^2, XY 的加總值。接著計算變異平方和：S_xx、S_yy 以及共變異數 S_xy。由公式 b_1 = S_xy / S_xx 求出斜率，再由 b_0 = Y_bar - b_1 * X_bar 求出截距。計算過程中很容易因為按錯計算機而全錯，建議將所有中介變數（如 ΣX, ΣY 等）清晰列出，方便考官給予部分分數。時間分配建議 15 分鐘。

本題需要算出 R^2 並進行文字解釋。R^2 的計算公式有多種：可以利用 R^2 = (S_xy^2) / (S_xx * S_yy)，或 R^2 = SSR / SST。前一小題已算出 S_xx 與 S_xy，此處只需再算出 S_yy 即可套入公式。計算完畢後，必須解釋「判定係數」的統計意義：即「依變數 (Y) 的總變異中，能被自變數 (X) 所解釋的比例」。要具體帶入題目的「產品強度」與「溫度」。時間分配建議 5 分鐘。

這是一題「迴歸斜率的假設檢定」。核心在於識別這是一個「單尾檢定（左尾）」還是「雙尾檢定」。題目說「溫度愈高，產品強度愈低」，意味著斜率 β_1 < 0，因此 H_1: β_1 < 0。接著要計算 t 統計量：t = (b_1 - 0) / S_b1。其中 S_b1 = S_e / √(S_xx)，而 S_e = √(MSE) = √(SSE / (n-2))。查 t 分配表時，自由度為 n - 2 = 8。最後將計算出的 t 值與臨界值比較，寫下拒絕或不拒絕虛無假設的結論。時間分配建議 10 分鐘。

這是一道純觀念題。要拆分成兩部分回答：首先定義「多元共線性（Multicollinearity）」：在多元迴歸中，自變數（X 變數）之間存在高度相關性。會導致估計係數變異數膨脹，降低模型穩定性與解釋能力。接著提出解決方案：如移除高度相關的變數、增加樣本數、使用主成分分析（PCA）、或改用脊迴歸（Ridge Regression）等。條列式作答最容易得分。時間分配建議 5 分鐘。