高考申論題
105年
[機械工程] 自動控制
第 一 題
📖 題組：
某系統之大小頻率響應圖，亦稱波德圖（Bode plot），如下圖所示。
某系統之大小頻率響應圖，亦稱波德圖（Bode plot），如下圖所示。
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
試依據此頻域之大小近似圖的所有轉折點，說明該系統有極點與零點位置所在，並寫出其開迴路轉移函數 G(s) = KB(s) / A(s)。（15 分）
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這是一道「系統鑑別（System Identification）」題。需觀察波德大小圖的斜率變化：1. 起始斜率為何？若不為零，代表在原點有極點或零點。延伸起初的直線，找到與 0dB 交叉的頻率，即可求出 K 值。2. 每當斜率下折 -20 dB/dec，代表遇到一個極點；每當斜率上折 +20 dB/dec，代表遇到一個零點。3. 依序找出轉折頻率後，組合出標準的轉移函數形式。
小題 (二)
若此時與相位圖為－180°處頻率之對應增益邊際（gain margin）為 5 dB，請說明如何調整設計系統之增益值 K，以達成該頻率處有增益邊際 25 dB 之穩定度要求。（10 分）
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這是一道考驗增益邊際（Gain Margin, GM）觀念的基礎題。思考邏輯：增益邊際的物理意義是「系統在相位交越頻率下，距離 0 dB（臨界穩定）還有多少 dB 的餘裕」。GM = -|G(jw_pc)| dB。要提升 GM，就必須把整個振幅曲線往下平移。將所需的平移量 (dB) 轉換為線性倍率，即可算出新的 K 值。
小題 (三)
當系統的輸出響應要求阻尼比為 0.5 的條件下，求 K 值為多少？（5 分）
思路引導 VIP
看到求特定阻尼比下的增益值，應立刻聯想到「特徵方程式比較係數法」。先寫出系統的閉迴路特徵方程式，並將其與標準二階特徵方程式進行係數比較。利用給定的阻尼比求出自然頻率後，即可解出未知的增益 K 值。