高考申論題
105年
[水利工程] 渠道水力學
第 二 題
📖 題組：
水流在一水平矩形渠道的光滑與粗糙底床面交界處發生水躍現象，即水躍前緣（上游端）位於渠床為光滑與粗糙面的交界處，水躍的滾浪及主體則皆位於粗糙底床上。給定流量為 Q，水躍前、後的共軛水深分別為 y1, y2 (η = y2/y1)，水躍前、後的斷面平均流速分別為 V1、V2，水躍前之福祿數（Froude Number）為 Fr1 = V1 / sqrt(gy1)。考慮粗糙底床的阻力效應，並假設底床面的平均剪應力 τ 可表示為（τ = (f/8)ρV1²），f 為粗糙底床的阻抗係數，ρ 為水密度，且粗糙面上的水躍長度 L 與水深差(y2 - y1)成正比（給定 L = α(y2 - y1)），α 為一常數。
水流在一水平矩形渠道的光滑與粗糙底床面交界處發生水躍現象，即水躍前緣（上游端）位於渠床為光滑與粗糙面的交界處，水躍的滾浪及主體則皆位於粗糙底床上。給定流量為 Q，水躍前、後的共軛水深分別為 y1, y2 (η = y2/y1)，水躍前、後的斷面平均流速分別為 V1、V2，水躍前之福祿數（Froude Number）為 Fr1 = V1 / sqrt(gy1)。考慮粗糙底床的阻力效應，並假設底床面的平均剪應力 τ 可表示為（τ = (f/8)ρV1²），f 為粗糙底床的阻抗係數，ρ 為水密度，且粗糙面上的水躍長度 L 與水深差(y2 - y1)成正比（給定 L = α(y2 - y1)），α 為一常數。
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (二)
比較發生在光滑面(即不計底部阻抗)與粗糙面上的水躍高度及其消能效果的差異。（10 分）
思路引導 VIP
遇到底床具阻抗的水躍問題，應優先聯想「動量方程式（特定力）」的改變。底床摩擦力會作為控制體積的外力消耗動量，導致下游特定力降低；再結合特定力曲線與比能曲線於亞臨界流段的單調遞增特性，即可定性推導出水深與消能的變化關係。
小題 (一)
求水躍共軛水深比 η (η = y2/y1) 與 f, α, Fr1 的關係式為何？（15 分）
思路引導 VIP
面對水躍現象的問題，核心解題關鍵是「動量守恆定律（比動量方程式）」。由於題目已明確給定粗糙底床的剪應力與水躍長度，必須建立包含水躍前後斷面的控制體積，並在水平受力分析中加入「底床摩擦阻力」。最後透過連續方程式與福祿數的定義，將方程式無因次化，同除以 (1-η) 後即可整理出 η 的關係方程式。