第 一 題

本題測驗「表面電流密度」的物理定義。將離散的線圈等效為連續的無厚度圓筒時，需計算總電流與其所分佈的垂直截線長度之比值，即 N 圈總電流除以螺線管高度 h，並標明其方向為沿圓柱表面的切向。

這題考查麥克斯韋方程組在不同介質交界面（空氣與磁性物質）的邊界條件。考生看到此題應先將螺線管的離散線圈等效為連續的「表面電流密度」，接著利用安培環路定律與高斯磁定律，分別寫出磁場切向分量不連續與法向分量連續的方程式，並代入圓柱座標系的法向量來具體化結果。

看到這題先聯想「理想長螺線管」的幾何假設條件（高度遠大於半徑）。利用對稱性排除徑向磁場後，再透過安培定律畫出矩形迴路，證明內部磁場僅與單位長度匝數及電流有關，進而說明在忽略邊緣效應下內部磁場為一常數。

首先判斷這是一道經典的均勻螺線管磁場問題，重點在於忽略邊界效應的近似。利用安培環路定律求出管內的均勻磁場強度，再藉由介質的導磁係數轉換為磁通密度，最後將磁通密度在截面積上積分，即可得到流經圓筒內之總磁通量。

看到計算電感的問題，應直接聯想「電感定義」：總磁通鏈與電流的比值 ($L = \Lambda / I_0$)。解題步驟上，先利用安培定律求出圓柱內部的均勻磁通密度 $B$，再計算穿過截面積的單匝磁通量 $\Phi$，最後乘以總圈數 $N$ 得到總磁通鏈 $\Lambda$ 代入定義即可求解。