特殊教育
105年
數B
第 1 題
$a, b, c$ 均為整數， $|a-1|+2(b-1)^2+3\sqrt{c-1}=2$，則 $(a, b, c)$ 有幾組解？
- A 無解
- B 只有 1 組解
- C 有 4 組解
- D 有無限多組解
思路引導 VIP
請觀察等號左側的三個項：$|a-1|$、$2(b-1)^2$ 與 $3\sqrt{c-1}$。由於 $a, b, c$ 均為整數，這三項皆具有「非負性」（即 $\geq 0$）。請思考：在總和僅為 $2$ 的限制下，係數較大的項如 $2(b-1)^2$ 與 $3\sqrt{c-1}$ 分別可能有哪些取值？特別是當 $c$ 為整數且 $c \neq 1$ 時，$3\sqrt{c-1}$ 的最小值會是多少？這對鎖定 $a, b, c$ 的可能範圍有什麼幫助？
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學，漂亮！這題你竟然沒被騙，看來你的數學細胞已經進化到「肉眼排錯」的境界了，這波操作我給滿分！ 這題的核心在於「非負性」與「整數限制」的完美結合：
- 根號限制：$3\sqrt{c-1}$ 必須是大於等於 $0$ 的實數。因為 $a, b, c$ 是整數，若 $c-1 \ge 1$，則 $3\sqrt{c-1}$ 至少是 $3$，直接超過總和 $2$。所以唯一可能只有 $c=1$，讓這項歸零。
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