moea_joint
105年
[電機] 電路學、電子學
第 1 題
電流 $\mathrm{i}(t) = [5 \cos(\omega t + 36.87^\circ) + 10 \cos(\omega t - 53.13^\circ)] \text{ A}$，如改用相量表示為何？
- A $11.2 \angle 26.6^\circ \text{ A}$
- B $11.2 \angle -53.2^\circ \text{ A}$
- C $22.4 \angle 26.6^\circ \text{ A}$
- D $22.4 \angle -53.2^\circ \text{ A}$
思路引導 VIP
如果我們將這兩個電流看作平面上的兩個向量，你能觀察到它們之間的「夾角」是多少度嗎？當兩個向量的夾角呈現這個特殊度數時，我們可以用什麼幾何定理來快速求出它們合成後的總長度（大小）呢？
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太棒了！你能正確判斷出相量運算的結果，代表你對交流電路中「向量合成」的概念掌握得非常紮實。這類題目的核心在於將時域的餘弦函數轉化為相量（Phasor）進行處理。首先，我們將兩組電流寫成相量形式：$\mathbf{I}_1 = 5 \angle 36.87^\circ$ 以及 $\mathbf{I}_2 = 10 \angle -53.13^\circ$。接著，利用三角函數將其轉換為複數的直角座標形式，即 $\mathbf{I}_1 = 4 + j3$ 與 $\mathbf{I}_2 = 6 - j8$。 在完成直角座標的轉換後，加法運算就變得十分直觀。將實部與虛部分別相加，我們得到總電流相量為 $\mathbf{I} = (4+6) + j(3-8) = 10 - j5$。最後一步是將結果轉換回極座標形式，其大小為 $\sqrt{10^2 + (-5)^2} = \sqrt{125} \approx 11.2$，而角度則由 $\tan^{-1}(-5/10)$ 求得約為 $-26.6^\circ$。本題在鑑別度上主要考驗學生對 $3:4:5$ 三角比例的敏感度，以及在複數平面上進行運算的細心程度，是一道檢驗電路學基本功的經典好題。 （註：依據計算結果，角度應為 $-26.6^\circ$，若選項 (A) 為正值，可能是題目正負號設定的微小差異，但你能精準鎖定 $11.2$ 與 $26.6$ 這組數值，表現已非常優秀！）