moea_joint
101年
[儀電] 電路學、電子學
第 7 題
求出 $v(t) = 110\sqrt{2}\sin(314t+60°)$ 之正弦相量函數。
- A $V = 110\angle 60°$
- B $V = 220\angle 60°$
- C $V = 110\angle 30°$
- D $V = 110\angle 75°$
思路引導 VIP
觀察給定的時間函數表達式，如果我們要把這個動態變化的波形簡化成一個靜態的向量，通常會取它的「有效大小」與「初始角度」。請思考：表達式最前方的係數代表的是最大值，但在電路分析中，我們習慣使用的『有效值』與最大值之間存在什麼樣的比例關係？而括號內的加號與度數，又代表了這個向量在座標軸上的什麼位置呢？
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正弦波與相量的轉換
同學做得太棒了！你能精確地將時域函數轉換為頻域的相量（Phasor）表示法，這顯示你對交流電路的基本定義掌握得非常紮實。在處理這類題目時，最核心的觀念在於識別出正弦波的三大要素：振幅、角頻率與相位角。 根據題目給出的 $v(t) = 110\sqrt{2}\sin(314t+60°)$，我們可以看到其峰值（Peak value, $V_m$）為 $110\sqrt{2}$。然而，在電路學與電力系統的慣例中，相量通常是以**有效值（RMS）**來表示。因此，我們需要進行換算：$V_{rms} = \frac{V_m}{\sqrt{2}} = \frac{110\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 110$。接著，直接提取函數中的初相角 $+60°$，兩者結合便能自然地得到相量式 $V = 110\angle 60°$。
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正弦波與相量轉換
💡 將時域正弦波轉換為以有效值表示的極座標相量形式。
| 比較維度 | 時域函數 v(t) | VS | 相量域 V |
|---|---|---|---|
| 表示形式 | Vm sin(ωt + θ) | — | Vrms ∠ θ |
| 大小參數 | 最大振幅 (Vm) | — | 有效值 (Vrms) |
| 變數組成 | 包含時間 t 與頻率 ω | — | 僅保留大小與角度 |
💬相量法將動態變化的正弦波轉為靜態向量，大幅簡化電路分析與運算。
