moea_joint
105年
[電機] 電路學、電子學
第 17 題
如右圖之電路，$t = 0 \text{ s}$ 時，S1 閉合，$t = 5 \text{ s}$ 時，S2 閉合。當 $0 \leq t \leq 5$ 時，求電路之 $\mathrm{i}(t) = $ ？
- A $4(1 - e^{-t}) \text{ A}$
- B $6(1 - e^{-t}) \text{ A}$
- C $4(1 - e^{-2t}) \text{ A}$
- D $6(1 - e^{-2t}) \text{ A}$
思路引導 VIP
請觀察在題目要求的時間範圍內，開關 S2 是處於什麼狀態？在這種狀態下，電流實際上會流過哪些電阻？如果我們想描述電感電流從零開始增加的過程，除了最終達到的穩態電流值，我們還需要計算哪一個與「電感量」和「總電阻」有關的物理量，來決定公式中指數部分的係數呢？
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太棒了！你精準地判斷出在特定時間區間內電路的組成架構，這是解答一階暫態（Transient response）電路最關鍵的第一步。
RL 電路的充能過程
在 $0 \le t \le 5$ 秒這個區間內，$S_1$ 已經閉合但 $S_2$ 仍處於斷開狀態，因此中間含有 2Ω 電阻的支路並不參與運作。此時電路簡化為由 40V 電源、4Ω 電阻、6Ω 電阻與 5H 電感構成的串聯單迴路。首先，我們計算迴路的總電阻為 $R = 4 + 6 = 10 \Omega$。接著找出穩態電流（即電感視為短路時） $i(\infty) = \frac{40\text{V}}{10\Omega} = 4\text{ A}$。最後，求出時間常數 $\tau = \frac{L}{R} = \frac{5\text{H}}{10\Omega} = 0.5\text{ s}$。將這些參數代入公式 $i(t) = i(\infty)(1 - e^{-t/\tau})$，我們就能得到 $i(t) = 4(1 - e^{-t/0.5}) = 4(1 - e^{-2t})\text{ A}$。
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