地特三等申論題
106年
[機械工程] 工程力學(包括靜力學、動力學與材料力學)
第 一 題
📖 題組：
如圖二所示，質量為 mA、平均半徑為r的細圓環 A 上鑲著一個質量為 mB的質塊 B。當質塊 B 位於θ = 60°時，圓環從靜止狀態釋放，沿著接觸面向右滾動而不發生滑移（rolls without slipping）。若 mA = mB = m，試求：
如圖二所示，質量為 mA、平均半徑為r的細圓環 A 上鑲著一個質量為 mB的質塊 B。當質塊 B 位於θ = 60°時，圓環從靜止狀態釋放，沿著接觸面向右滾動而不發生滑移（rolls without slipping）。若 mA = mB = m，試求：
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
圓環的初始角加速度α 。（10 分）
思路引導 VIP
本題為複合剛體的平面運動問題。由於圓環作無滑動滾動且由靜止釋放，接地點的瞬時加速度為零，故解題最快的方法是直接對接地點取力矩（ΣM = Iα）。先分別求出圓環與質塊對接地點的轉動慣量，再計算質塊重力產生的力臂與力矩，即可輕鬆求出初始角加速度。
小題 (二)
圓環與接觸面之間的最小靜摩擦係數μ s 。（10 分）
思路引導 VIP
本題為剛體與質點結合的純滾動動力學問題。解題重點在於先透過剛體運動學關係（$\vec{a}_B = \vec{a}A + \vec{\alpha} \times \vec{r}{B/A}$）求出質塊B的加速度，再對整體系統應用牛頓-尤拉方程式（平移受力平衡、對圓心A取力矩求角動量變化）建立聯立方程式，解出接觸面摩擦力與正向力後，代入 $\mu_s \ge |f_s|/N$ 即可求得最小靜摩擦係數。
剛體純滾動動力分析
💡 利用接地瞬心建立轉動方程式，簡化受力分析求得角加速度。
🔗 複合剛體純滾動分析四步驟
- 1 定瞬心 — 選定圓環與地面接觸點 C 為瞬時轉動中心。
- 2 算慣量 — 利用平行軸定理計算系統對 C 點之總轉動慣量。
- 3 求力矩 — 計算系統所受重力對 C 點產生的主動外力矩。
- 4 解方程 — 代入轉動定律 $\Sigma M = I\alpha$ 解出角加速度。
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🔄 延伸學習：延伸學習：若欲求滾動一段時間後的速度，則需改用功與能原理分析。
