高考申論題
110年
[機械工程] 工程力學(包括靜力學、動力學與材料力學)
第 一 題
📖 題組：
如圖所示，一個均質半圓柱靜置於水平地面，質量為 m，半徑為 r。已知半圓柱的質心 G 與圓心 O 距離 y = 4r / (3π)，相對圓心 O 的轉動慣量（moment of inertia of mass）為 I_O = mr^2 / 2，重力加速度以符號 g 表示。施一傾斜力 P 於 B 點，使半圓柱開始轉動而不滑動（roll without sliding）。請回答下列問題：
如圖所示，一個均質半圓柱靜置於水平地面，質量為 m，半徑為 r。已知半圓柱的質心 G 與圓心 O 距離 y = 4r / (3π)，相對圓心 O 的轉動慣量（moment of inertia of mass）為 I_O = mr^2 / 2，重力加速度以符號 g 表示。施一傾斜力 P 於 B 點，使半圓柱開始轉動而不滑動（roll without sliding）。請回答下列問題：
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
繪製半圓柱於初始瞬間的自由體圖及動力圖（kinetic diagram）。（5 分）
思路引導 VIP
這是一道標準的「圖解」題。自由體圖(FBD)旨在畫出所有「外力」，動力圖(KD)則是畫出對應的「等效慣性力/力矩」。
- FBD：半圓柱受到的外力有：(a) 質心 G 點的重力 mg（向下）；(b) 地面接觸點 C 的正向力 N（向上）；(c) 接觸點 C 的靜摩擦力 f（方向視滾動趨勢而定，P力壓向右下會使圓柱順時針轉，因此接觸點有向左滑的趨勢，摩擦力應向右，但標示未知方向即可，通常假設向右或向左並無不可）；(d) B點的外加推力 P（依圖示為向左下，與水平夾60度）。
小題 (二)
半圓柱於初始瞬間的角加速度 α？（10 分）
思路引導 VIP
這題要求純滾動(不滑動)初始瞬間的角加速度 α。
- 運動學分析：因「不滑動」，接觸點 C 點在此瞬間是瞬心，其加速度切向為零。因為是「初始瞬間」，角速度 ω=0，因此法向(向心)加速度也為零，即 a_C = 0。質心 G 繞 C 點轉動，所以 a_G 的切線方向垂直於 CG 連線，且有 a_G = α × r_{G/C}。
小題 (三)
半圓柱與地面至少需要的最大靜摩擦係數？（10 分）
思路引導 VIP
求算靜摩擦係數 $\mu_s$ 的問題，核心在於利用不滑動條件 $f \le \mu_s N$。
- 為了找出摩擦力 f 和正向力 N，必須回到牛頓第二定律：ΣF_x = m(a_G)_x 和 ΣF_y = m(a_G)_y。