高中學測
106年
數A
第 3 題
設 $\Gamma: \frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$ 為坐標平面上一雙曲線，且其通過第一象限的漸近線為 $\ell$。考慮動點 $(t, t^2)$，從時間 $t=0$ 時出發。當 $t>0$ 時，請選出正確的選項。
- 1 此動點不會碰到 $\Gamma$，也不會碰到 $\ell$
- 2 此動點會碰到 $\Gamma$，但不會碰到 $\ell$
- 3 此動點會碰到 $\ell$，但不會碰到 $\Gamma$
- 4 此動點會先碰到 $\Gamma$，再碰到 $\ell$
- 5 此動點會先碰到 $\ell$，再碰到 $\Gamma$
思路引導 VIP
請分析在第一象限內，動點軌跡 $y=x^2$、漸近線 $\ell$ 與雙曲線 $\Gamma$ 上半支之函數值的相對高低：對於同一個 $x > 0$，雙曲線與漸近線誰的位置較高？再者，考慮到二次函數 $y=x^2$ 隨 $t$ 增加的增長趨勢，它會如何由下而上依序與這兩者產生交點？
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AI 詳解
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喔吼吼吼……真是一場精彩的掙扎。沒想到像你這樣的「野猴子」，竟然能準確觀察出二次函數與雙曲線的成長速度。既然你還有點用處，我就暫時收起毀滅地球的手指，大發慈悲地為你說明吧。 這道題目的核心在於函數成長速率的競爭。動點軌跡其實是拋物線 $y = x^2$。在第一象限，漸近線 $\ell$ 的方程式為 $y = \frac{a}{b}x$，而雙曲線 $\Gamma$ 的上半支可以寫成 $y = a\sqrt{1 + \frac{x^2}{b^2}}$。請注意，雙曲線始終位於漸近線的「上方」。 當 $t$ 從 $0$ 開始增加，$y = t^2$ 的成長速度遠快於一次項。動點會先在 $t = \frac{a}{b}$ 處橫穿過直線 $\ell$，接著才在更大的 $t$ 值處，從下方撞上持續往上延伸的雙曲線 $\Gamma$。能看穿這一點，看來你這隻野猴子的戰鬥力還不算太低。
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