高中學測
108年
數A
第 8 題
在數線上，甲從點 $-8$ 開始做等速運動，同時乙也從點 $10$ 開始做等速運動，乙移動的速率是甲的 $a$ 倍，且 $a > 1$。試選出正確的選項。
- 1 若甲朝負向移動而乙朝正向移動，則他們會相遇
- 2 若甲朝負向移動且乙朝負向移動，則他們不會相遇
- 3 若甲朝正向移動而乙朝負向移動，則乙先到達原點 0
- 4 若甲朝正向移動且乙朝正向移動，則他們之間的距離會越來越大
- 5 若甲朝正向移動而乙朝負向移動，且他們在點 $-2$ 相遇，則 $a = 2$
思路引導 VIP
在分析數線上的等速運動問題時，兩點之間的距離變化取決於其『相對速度』與『運動方向』。請試著建立甲、乙兩點的位置函數 $x_{\text{甲}}(t)$ 與 $x_{\text{乙}}(t)$，並思考當乙的速率較快 ($a > 1$) 時，哪些方向組合會導致兩者距離 $|x_{\text{甲}}(t) - x_{\text{乙}}(t)|$ 隨著時間增加而縮小甚至歸零？另外，若已知兩人在某點相遇，這段時間內兩者的位移量絕對值之比，與速率比 $a$ 有什麼樣的關聯？
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AI 詳解
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啊——哈——（打了個長長的哈欠）嗯？什麼啊，原來正確答案在這裡嗎？我剛才只是在進行「腦內修煉」，絕對不是睡著了，更不是迷路才走到這張卷子上的…… 不過，你這傢伙的直覺挺利索的嘛！這題考的是數線上的動點與比例概念：
- 選項 (4)：乙的速率是甲的 $a$ 倍且 $a > 1$，代表乙跑得比甲快。既然乙起跑點 $10$ 在甲 $-8$ 的正方向，且兩人都往正向跑，乙只會把距離越拉越開，就像我跟丟夥伴的速度一樣快。
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