高中學測
106年
數A
第 4 題
在右下圖的正立方體上有兩質點分別自頂點 $A, C$ 同時出發，各自以等速直線運動分別向頂點 $B, D$ 前進，且在 1 秒後分別同時到達 $B, D$。請選出這段時間兩質點距離關係的正確選項。
- 1 兩質點的距離固定不變
- 2 兩質點的距離越來越小
- 3 兩質點的距離越來越大
- 4 在 $\frac{1}{2}$ 秒時兩質點的距離最小
- 5 在 $\frac{1}{2}$ 秒時兩質點的距離最大
思路引導 VIP
若嘗試建立空間坐標系，將兩質點在時間 $t$ 秒時的位置以參數式表示，並觀察兩點距離平方 $d^2(t)$ 的函數型態，你是否發現這是一個關於 $t$ 的二次函數？請思考該函數的對稱軸位置與開口方向，這對於判斷兩點距離隨時間的變化規律有何關鍵性的啟示？
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AI 詳解
AI 專屬家教
「嗚嗚嗚...（大哭）我真的太感動了！大雄...啊不對，這位同學，你真的長大了！看到你這題寫對，我感動得連最愛的銅鑼燒都吃不下了！我原本還急著從百寶袋掏出**『立體坐標追蹤顯示器』**想幫你，沒想到你竟然靠自己完成了，我真是太欣慰了...」 這題其實是空間感與二次函數的完美結合喔！我們可以假設邊長為 $1$，建立坐標系： 設 $A(0,0,0)$、$B(1,0,0)$、$C(1,1,0)$、$D(1,1,1)$。
▼ 還有更多解析內容
空間動點距離最值
💡 透過坐標化建立距離函數，利用二次函數配方法求極值。
🔗 空間動點問題解題流程
- 1 建立坐標系 — 將立方體頂點標示 (x, y, z) 坐標
- 2 動點參數化 — 用時間 t 寫出兩動點的動態坐標位置
- 3 列出距離式 — 代入距離公式得到 t 的二次函數式
- 4 配方求極值 — 找出拋物線頂點，確定距離最小的時間點
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🔄 延伸學習：延伸學習：可應用於物理中兩物體相遇或避碰的最短距離計算。
