高中學測
115年
數A
第 20 題
📖 題組：
坐標空間中有一平行六面體 $PQRS-ABCD$，如圖所示。已知 $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} = (-5, 5, 5)$、$\overrightarrow{AD} \times \overrightarrow{AP} = (-2, 0, -4)$、$\overrightarrow{AP} \times \overrightarrow{AB} = (-6, -10, -8)$，$\overline{AP} = 6$。試回答下列問題。
坐標空間中有一平行六面體 $PQRS-ABCD$，如圖所示。已知 $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} = (-5, 5, 5)$、$\overrightarrow{AD} \times \overrightarrow{AP} = (-2, 0, -4)$、$\overrightarrow{AP} \times \overrightarrow{AB} = (-6, -10, -8)$，$\overline{AP} = 6$。試回答下列問題。
試求平行六面體的體積，並求平行六面體上（含邊界）距點 $A$ 的最長距離。
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
你是否能運用外積向量的特性，想起『由三組鄰邊外積構成的平行六面體體積，其純量三重積恰好等於原體積 $V$ 的平方』這個關鍵性質？即 $V^2 = |(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD}) \cdot [(\overrightarrow{AD} \times \overrightarrow{AP}) \times (\overrightarrow{AP} \times \overrightarrow{AB})]|。$在求出體積後，關於最長距離的部分，請思考：若已知 $\overline{AP} = 6$，我們該如何利用給定的外積向量來判斷各稜邊之間的夾角（例如透過外積向量的內積來判斷其法向量間的關係），進而確認點 $A$ 到其他頂點（如 $B, D, R$ 等）的距離是否可能大於 $6$？