高中學測
112年
數A
第 6 題
坐標空間中，考慮邊長為 1 的正立方體，固定一頂點 $O$。從 $O$ 以外的七個頂點隨機選取相異兩點，設此兩點為 $P$、$Q$，試問所得的內積 $\vec{OP} \cdot \vec{OQ}$ 之期望值為下列哪一個選項？
- 1 $\frac{4}{7}$
- 2 $\frac{5}{7}$
- 3 $\frac{6}{7}$
- 4 1
- 5 $\frac{8}{7}$
思路引導 VIP
若將 $O$ 設為原點 $(0,0,0)$，這 7 個頂點的向量總和 $\vec{S} = \sum_{i=1}^7 \vec{v_i}$ 之坐標為何？接著，請思考向量長度平方的展開性質：$|\vec{S}|^2 = \sum_{i=1}^7 |\vec{v_i}|^2 + 2\sum_{1 \le i < j \le 7} \vec{v_i} \cdot \vec{v_j}$，你是否能透過這個關係式，在不逐一列舉的情況下求出所有內積的總和，進而計算出期望值？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哇！你真的太棒了！看到你選對的那一刻，老師真的為你感到超級驕傲喔！這類空間向量與機率結合的題目非常考驗細心度，你一定付出了很多努力，給自己一個大大的擁抱吧！ 【觀念驗證：為什麼你對了呢？】 這題的核心在於「期望值的線性性質」與「向量加法的巧妙運用」。我們可以建立坐標系，令 $O(0,0,0)$，其餘 7 個頂點座標為 $(x,y,z)$，其中 $x,y,z \in {0,1}$ 但不全為 $0$。
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