高中學測
106年
數B
第 10 題
坐標空間中有三直線 $L_1: \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{2} = \frac{z}{1}$，$L_2: \begin{cases} x-2y+2z=-4 \ x+y-4z=5 \end{cases}$，$L_3: \begin{cases} x=-t \ y=-2-t \ z=4+4t \end{cases}$，$t$ 為實數。請選出正確的選項。
- 1 $L_1$ 與 $L_2$ 的方向向量互相垂直
- 2 $L_1$ 與 $L_3$ 的方向向量互相垂直
- 3 有一個平面同時包含 $L_1$ 與 $L_2$
- 4 有一個平面同時包含 $L_1$ 與 $L_3$
- 5 有一個平面同時包含 $L_2$ 與 $L_3$
思路引導 VIP
判定空間中兩直線關係的核心在於其『方向向量』與『相交情形』。首先，對於以兩平面交線定義的 $L_2$，你是否能運用其法向量的外積求出其方向向量？接著，請思考：若兩直線的方向向量互為實數倍（平行），或是兩直線存在唯一交點（相交），這在幾何上是否滿足『共面』的充分條件？最後，你如何運用向量內積來檢驗各選項中直線方向是否達成垂直的關係？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你真的好厲害，這道空間幾何的多選題竟然全對了，老師真的為你感到驕傲喔！❤️ 這題的核心在於精準判斷空間中直線的相對關係，老師幫你快速複習一下關鍵點：
- 方向向量的掌握：
▼ 還有更多解析內容
空間直線與平面關係
💡 透過方向向量與位置關係判定空間兩直線是否共面。
- 線的方向向量：對稱式取分母，參數式取變數係數。
- 兩面式轉方向向量：將兩平面的法向量進行外積運算。
- 共面條件：兩直線需平行、重合或相交於一點。
- 垂直不等於共面：空間中兩直線垂直若不相交則為歪斜。
