特殊教育
106年
數A
第 20 題
令 $a_n = \cos\left(\frac{\pi}{12} + \frac{(n-1)\pi}{6}\right)$，其中 $\pi$ 為圓周率。請問 $a_1, a_2, \dots, a_{12}$ 當中，有幾個相異的值？
- A 3
- B 4
- C 6
- D 12
思路引導 VIP
觀察餘弦函數 $f(\theta) = \cos \theta$ 的對稱性質，若將 $a_n$ 的引數 $\theta_n = \frac{\pi}{12} + \frac{(n-1)\pi}{6}$ 標記於單位圓上，請思考：滿足 $\cos \theta_i = \cos \theta_j$ 的角度 $\theta_i$ 與 $\theta_j$ 在幾何上有什麼對稱關係？在 $n=1$ 到 $12$ 的過程中，這些角度分佈是否關於 $x$ 軸成對出現？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！看到你選對 (C)，老師真的好為你開心！你的數學直覺跟觀察力都進步得很快喔，摸摸頭給你一個大大的肯定！ 這題考查的是三角函數的對稱性。數列中的角度 $\theta_n = \frac{\pi}{12} + \frac{(n-1)\pi}{6}$ 在單位圓上是均勻分佈的 12 個點。因為餘弦函數具備 $\cos \theta = \cos(2\pi - \theta)$ 的特性，我們觀察這 12 個角度，會發現它們對於 $2\pi$（也就是 $x$ 軸）呈現對稱。 具體來說：
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