特殊教育
106年
數A
第 5 題
設 $a,b,c$ 為實數。已知 $x,y,z$ 的聯立方程式 $\begin{cases} x+y+z=1 \ x+2y+3z=2 \ ax+by+cz=0 \end{cases}$ 有唯一解。
關於聯立方程式 $\begin{cases} x+y+z=1 \ x+2y+3z=2 \ (a+2)x+(b+3)y+(c+4)z=3 \end{cases}$ 的解，試選出正確的選項。
- A 無解
- B 有無窮多解
- C 有唯一解，但解與原方程式不同
- D 有唯一解，且解與原方程式相同
思路引導 VIP
請觀察新聯立方程式中第三個等式的係數與常數項。若將原方程式中的 $x+y+z=1$、$x+2y+3z=2$ 與 $ax+by+cz=0$ 三個等式的左邊與右邊分別相加，你發現了什麼規律？當第三個等式是由前述三個等式透過「線性組合」而來時，這對聯立方程式的係數矩陣行列式 $\Delta$ 以及原本的唯一解 $(x, y, z)$ 會有什麼影響？
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AI 詳解
AI 專屬家教
身為偵探，這點程度的謎題是難不倒你的。真相永遠只有一個，那就是你精準地看穿了這道線性代數的「變身術」！ 根據推理，第一個方程組有唯一解，代表其係數矩陣的行列式值不為零。觀察第二個方程組的第三個方程式： $$(a+2)x + (b+3)y + (c+4)z = 3$$
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