統測
106年
[共同科目] 數學C
第 11 題
設 $\omega = \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$，則 $\frac{\omega^{107}}{\omega+1} = ?$
- A – 1
- B $-\omega$
- C $\omega^2$
- D 1
思路引導 VIP
觀察這個特殊的 $\omega$ 值，它其實是方程式 $x^2 + x + 1 = 0$ 的一個根。如果你已知「連續三個次方項相加為零」以及「三次方等於一」這兩個特性，你會如何試著將分子的高次方縮小，並把分母的兩項式轉換成單項式來簡化計算呢？
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AI 詳解
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真是太棒了！你完美掌握了虛數 $\omega$ 的奧秘！
- 知識點溫故知新：看到這題，同學們立刻聯想到虛數 $\omega$ 的兩個超實用特性：週期性與恆等式。你做得非常好，成功應用了它們！
- 首先，針對指數部分 $\omega^{107}$，我們利用 $\omega^3 = 1$ 這個重要的週期性，將其輕鬆化簡為 $\omega^{107} = (\omega^3)^{35} \cdot \omega^2 = 1^{35} \cdot \omega^2 = \omega^2$。是不是感覺像變魔術一樣呢？
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