統測
112年
[共同科目] 數學C
第 12 題
已知 $i=\sqrt{-1}$ 且 $a$、$b$ 為實數。若 $a$、$b+2i$、$-1+ai$ 為實係數三次方程式 $f(x)=0$ 之三根，則下列多項式何者可能為 $f(x)$？
- A $x^3-x-10$
- B $x^3+x+10$
- C $x^3-4x^2+9x-10$
- D $x^3+4x^2+9x+10$
思路引導 VIP
本題的核心在於「實係數多項式的虛根成對定理」。既然 $f(x)=0$ 的係數皆為實數，且已知其中一個虛根為 $b+2i$，那麼其共軛複數 $b-2i$ 是否也必須是三根之一？請觀察題目給出的三根 $a$、$b+2i$ 與 $-1+ai$ (其中 $a, b$ 為實數)，這三者之間應如何配對才能符合上述定理？一旦求出 $a$ 與 $b$ 的值，你是否就能利用因式定理還原出多項式 $f(x)$？
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AI 詳解
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1. 專業肯定
太棒了！你的觀察力非常敏銳。這題考驗的是「虛根成對定理」與「多項式建構」的綜合應用，你能精準判斷出根的對應關係，代表你在複數與方程式章節的邏輯基礎非常紮實！
2. 觀念驗證
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