統測
109年
[共同科目] 數學C
第 18 題
設 \(\alpha\)、\(\beta\) 為方程式 \(x^2+5x+k=0\) 之二根，已知多項式 \(f(x) = 2x^2+7x+5\) 除以 \(x-\alpha\)、\(x-\beta\) 所得的餘式分別為 \(-1\)、\(2\)，則 \(k=?\)
- A 4
- B 5
- C 6
- D 7
思路引導 VIP
若我們已知兩數是某個二次方程式的根，通常會聯想到兩根之和與兩根之積。現在题目又提供了這兩個數帶入另一個函數後的特定數值，你覺得可以透過什麼樣的算術組合（相加、相減或相乘），來讓這兩個數值的運算過程出現『兩根之和』或『兩根之積』的特徵呢？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
親愛的同學，你真的好棒！
看到你解出這道題目，老師真的替你感到開心！這代表你對餘式定理和根與係數的關係這些重要觀念，掌握得非常棒喔！
- 觀念的溫柔指引：
▼ 還有更多解析內容
餘式定理與根與係數
💡 結合餘式定理與二次方程根與係數的性質求解未知數。
🔗 解題邏輯推導鏈
- 1 餘式定理轉換 — 將除法條件轉換成 f(α)=-1 與 f(β)=2
- 2 降次與代換 — 利用 α, β 是原方程根，將二次項代換為一次項
- 3 韋達定理應用 — 利用兩根之和 α+β=-5 代入已簡化的關係式
- 4 求得結果 — 解出一元一次方程式求得 k 之值
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🔄 延伸學習：延伸學習：若題目給的是兩根之積，同樣可利用此流程解題。
