統測 107年 [共同科目] 數學C

第 9 題

若 $f(x)=x^4-x^3+kx^2-2$ 為整係數多項式，其中 $k>0$ 且 $f(x)$ 有整係數一次因式 $x-h$，則 $k+h=?$

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請試著觀察多項式的係數與常數項。如果一個整數是這個多項式的根，根據『整係數一次因式檢驗法』，這個整數與多項式的『常數項』之間應該具備什麼樣的因數關係？找出這些可能性後，再代回方程式看看哪個能滿足係數是大於零的條件？

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觀念驗證：這題的核心在於整係數一次因式檢驗法（牛頓定理）。因為最高次項係數為 $1$，若 $x-h$ 是整係數一次因式，則 $h$ 必定是常數項 $-2$ 的因數，即 $h \in {1, -1, 2, -2}$。再利用因式定理 $f(h)=0$ 代入檢驗，配合題目給定的限制條件 $k>0$，就能精確鎖定 $h=1$ 且 $k=2$。
難度點評：本題屬於 medium (中等題)。它不僅考驗公式計算，更具備高度的鑑別度，要求考生必須在多個可能的 $h$ 值中，結合不等式條件進行篩選，是統測中常見的陷阱題型。