統測 105年 [共同科目] 數學C

第 7 題

已知 $a$ 、 $b$ 為實數，若 $f(x)=x^3+ax^2+bx-6$ ， $g(x)=x^2-7x+6$ ，且 $f(x)$ 可被 $g(x)$ 整除，求 $2a+3b$ 之值。

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當我們知道一個多項式可以被另一個二次式『整除』時，除了繁瑣的長除法，是否能利用除式的『零點』（使式子為零的 $x$ 值）來簡化問題？如果我們能找到讓除式變為零的數值，將它們代入被除式後，根據定義應該會得到什麼結果呢？

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觀念驗證：這題的核心在於因式定理與多項式分解。既然 $f(x)$ 可被 $g(x) = x^2-7x+6$ 整除，我們可以先將 $g(x)$ 分解為 $(x-1)(x-6)$。這意味著 $x=1$ 與 $x=6$ 都是 $f(x)$ 的根，即滿足 $f(1)=0$ 且 $f(6)=0$。透過解聯立方程式： $$\begin{cases} 1+a+b-6=0 \ 216+36a+6b-6=0 \end{cases}$$

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