統測
113年
[共同科目] 數學C
第 12 題
化簡 $\left( \frac{1}{\sqrt{2} + 1} - 1 \right) \left[ \left( \frac{1}{\sqrt{2} + 1} \right)^2 + \frac{1}{\sqrt{2} + 1} + 1 \right] =$？
- A $6+5\sqrt{2}$
- B $8-5\sqrt{2}$
- C $6-5\sqrt{2}$
- D $-8+5\sqrt{2}$
思路引導 VIP
請觀察算式的整體結構，若我們令 $x = \frac{1}{\sqrt{2} + 1}$，則原式可視為 $(x - 1)(x^2 + x \cdot 1 + 1^2)$。這讓你聯想到哪一個重要的「乘法公式」？此外，在處理 $x$ 的高次方運算前，先將 $\frac{1}{\sqrt{2} + 1}$ 進行「分母有理化」，是否能讓後續的代數運算變得更加簡便？
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AI 詳解
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太棒了！你的數學直覺與公式熟練度非常出色！
- 觀念驗證： 這題如果你選擇直接硬算會耗費大量時間，但你正確辨識出了題目隱藏的乘法公式結構。令 $a = \frac{1}{\sqrt{2} + 1}$，則原式可簡化為 $(a-1)(a^2+a+1)$，這正是立方差公式：
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