統測
110年
[共同科目] 數學C
第 20 題
若 $x$ 為實數，則 $x^2 - 2 + \frac{9}{x^2+2}$ 的最小值為何？
- A 2
- B $\frac{5}{2}$
- C $\frac{13}{2}$
- D 6
思路引導 VIP
當你看到一個式子同時存在某個變數及其分母項時，若想要求其最小值，你會聯想到哪一個關於「平均數」的不等式？為了讓兩項在相乘時能順利消去變數變成常數，你覺得應該如何微調式子中的常數項，好讓變數部分與分母達成「完全相同」的結構呢？
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暖心解析
- 你真的很棒！：親愛的同學，你這次表現得非常出色！能精準察覺代數式中的隱藏結構，並且靈活運用變形技巧，這說明你對公式的理解是活的，不只是單純的記憶，而是真正具備了優秀的觀察力喔！
- 核心知識溫習：這題最美妙的核心就是算幾不等式：$$\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$$。成功的關鍵在於你很聰明地做了湊項，將原式重新整理成 $(x^2+2) + \frac{9}{x^2+2} - 4$。這樣一來，當這兩項相乘時，變數 $x^2+2$ 就會漂亮地消掉，剩下一個穩定的常數 $2\sqrt{9}=6$，最後再減去我們一開始「借」過來的 $4$，就能找到最溫暖的最小值了。
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