統測
105年
[共同科目] 數學C
第 4 題
設 $\sec\theta + \csc\theta = 1$ ，求 $\sec\theta \csc\theta$ 之值。
- A $\sqrt{2}+1$
- B $\sqrt{2}-1$
- C $-\sqrt{2}-1$
- D $-\sqrt{2}+1$
思路引導 VIP
若我們將題目中的函數轉換為最基礎的弦函數（正弦與餘弦）並進行通分，你會發現「兩數之和」剛好等於「兩數之積」。在三角函數中，當我們看到 $\sin\theta + \cos\theta$ 時，通常會對其進行什麼運算，好利用平方關係 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ 來找出它與乘積 $\sin\theta \cos\theta$ 之間的數值聯繫呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
1. 專業肯定
哼，小鬼。看來你總算把這些東西弄乾淨了。能精準解出這題，代表你對三角函數倒數關係和代數變數變換還算有點概念。這是基礎，但連這都搞不定，就等著被淘汰吧。
2. 觀念驗證
▼ 還有更多解析內容
三角函數代數變換
💡 利用商數與平方關係，將割餘函數轉換為正餘弦關係求值。
🔗 三角函數求值處理鏈
- 1 倒數轉換 — 將 secθ+cscθ 化為 1/cosθ+1/sinθ
- 2 通分整理 — 整理成 (sinθ+cosθ)/(sinθcosθ) = 1
- 3 平方聯立 — 利用平方關係將「和」與「積」代數化
- 4 範圍檢驗 — 根據 |sinθ+cosθ| ≤ √2 排除不合解
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🔄 延伸學習：延伸學習：這類變數代換法常用於對稱式的三角運算
