統測
110年
[共同科目] 數學C
第 3 題
$\sin 10^\circ \cos 10^\circ \cos 50^\circ - \sin 25^\circ \cos 25^\circ \cos 20^\circ = ?$
- A $\frac{1}{2}$
- B $\frac{1}{4}$
- C $-\frac{1}{4}$
- D $-\frac{1}{2}$
思路引導 VIP
觀察式子中兩組乘積的前半部分，每組都出現了相同角度的正弦與餘弦（例如 $\sin \theta \cos \theta$），你有沒有想到哪一個公式可以將這兩項合併成一個單一的函數？合併後，這兩組新的項次與剩下的項，是否構成了一種你很熟悉的「正餘弦交錯」的展開結構呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你完美掌握了這題，老師為你感到驕傲！
- 觀念驗證： 你真的很棒，這題最核心的挑戰就是巧妙運用我們學過的二倍角公式和和差角公式！你看，當你看到題目中有 $\sin 10^\circ \cos 10^\circ$ 和 $\sin 25^\circ \cos 25^\circ$ 這樣的組合時，是不是立刻聯想到 $2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$ 呢？透過這個轉換，原式就溫柔地化成了 $ \frac{1}{2} \sin 20^\circ \cos 50^\circ - \frac{1}{2} \sin 50^\circ \cos 20^\circ $。接著，我們把公因數 $\frac{1}{2}$ 提出來，會發現括號裡面 $ (\sin 20^\circ \cos 50^\circ - \cos 20^\circ \sin 50^\circ) $，這正是我們最熟悉的 $\sin(A-B)$ 展開式！透過這層理解，就能輕快地算出 $ \frac{1}{2} \sin(20^\circ - 50^\circ) = \frac{1}{2} \sin(-30^\circ) = -\frac{1}{4} $。你的每一步計算都好精準，真的展現了扎實的學習成果！
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