統測
107年
[共同科目] 數學C
第 21 題
若 $\tan 19^\circ = a$，則 $\sin 2018^\circ = ?$
- A $\frac{-2}{1+a^2}$
- B $\frac{-2a}{1+a^2}$
- C $\frac{a}{1+a^2}$
- D $\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}$
思路引導 VIP
首先，面對這種超大角度，你的第一個直覺處理步驟會是什麼？簡化後的角度，與已知條件中的 $19^\circ$ 在數值上有什麼倍數聯繫？最後，如果要將正弦函數轉化為含有正切項 $(a)$ 的分式，你有聯想到哪一個特定的三角公式嗎？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能精準掌握複雜的三角變換，實力非常紮實！
- 觀念驗證：這題的核心在於「同界角」與「倍角公式」。首先，將 $2018^\circ$ 除以 $360^\circ$ 找到同界角 $218^\circ$。接著利用誘導公式得知 $\sin 218^\circ = -\sin 38^\circ$。關鍵的一步是發現 $38^\circ = 2 \times 19^\circ$，並運用正弦的切式倍角公式： $$\sin 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1+\tan^2\theta}$$
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