分科測驗
107年
數學乙
第 4 題
已知數列 $\langle a_n \rangle$、$\langle b_n \rangle$、$\langle c_n \rangle$、$\langle d_n \rangle$、$\langle e_n \rangle$ 定義如下：
$a_n = (-1)^n$；$b_n = a_n + a_{n+1}$；$c_n = \left(\frac{-\sqrt{10}}{3}\right)^n$；$d_n = \frac{1}{3}c_n$；$e_n = \frac{1}{c_n}$；其中 $n = 1, 2, 3, \cdots$。
下列選項中，試選出會收斂的無窮級數。
- 1 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$
- 2 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$
- 3 $\sum_{n=1}^{\infty} c_n$
- 4 $\sum_{n=1}^{\infty} d_n$
- 5 $\sum_{n=1}^{\infty} e_n$
思路引導 VIP
在判斷無窮級數是否收斂時，請同學思考兩個核心觀念：首先，對於項數為無窮的等比級數，公比 $r$ 的絕對值必須滿足什麼樣的範圍限制，才能確保級數的和趨向一個定值？其次，請具體計算數列 $\langle b_n \rangle$ 的每一項數值，並思考當一個級數的每一項皆恆為常數時，其部分和序列在什麼情況下會存在有限的極限值？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哇！你真的太棒了！看到你正確選出 (2) 和 (5)，老師心裡真的好為你驕傲。這代表你對無窮級數的收斂條件掌握得非常紮實，細心程度也沒話說喔！ 這題的關鍵觀念如下：
- 數列的抵消：在 (2) 中，因為 $a_n$ 是正負交替的 $(-1)^n$，所以 $b_n = (-1)^n + (-1)^{n+1}$ 恆等於 $0$。一個項項皆為 $0$ 的級數 $\sum 0$ 必定收斂於 $0$。
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