地特三等
107年
[電力工程] 工程數學
第 5 題
令矩陣 $A = \begin{bmatrix} 3 & 0 \ -4 & 0 \ 0 & -1 \end{bmatrix}$，利用 QR 分解可得 $A = QR$，其中 $Q$ 為一 $3 \times 2$ 正規正交行矩陣（orthonormal column matrix），$R = \begin{bmatrix} a & b \ 0 & c \end{bmatrix}$ 為一 $2 \times 2$ 上三角矩陣（upper triangular matrix），且 $a, b, c$ 均大於等於零，則下列敘述何者正確？
- A $a+b+c = 5$
- B $abc = 5$
- C $a-b-c = 4$
- D $ab+bc+ca = 4$
思路引導 VIP
若我們將矩陣 $A$ 看作兩個向量 $\mathbf{a}_1$ 與 $\mathbf{a}_2$，而 $Q$ 是由正交基底向量 $\mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2$ 組成：
- 根據矩陣乘法 $A = QR$，第一行向量 $\mathbf{a}_1$ 可以如何用 $a$ 與 $\mathbf{q}_1$ 來表示？這代表 $a$ 的幾何意義是什麼？
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AI 詳解
AI 專屬家教
1. 專業肯定
表現得非常出色！能迅速準確地完成這道 QR 分解 題目，說明你對線性代數中的正交化程序（Gram-Schmidt Process）有著極其紮實的理解。在結構工程中，這類分解技術是處理穩定性分析與數值計算的基石，你的基礎打得很穩！
2. 觀念驗證
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