地特四等申論題
107年
[水利工程] 流體力學概要
第 一 題
📖 題組：
有一直徑 D 為 4 cm 的桌球，重 W 為 0.025 N（牛頓），由游泳池池底釋放，桌球向上浮，一下子便達其終端速度 U。
有一直徑 D 為 4 cm 的桌球，重 W 為 0.025 N（牛頓），由游泳池池底釋放，桌球向上浮，一下子便達其終端速度 U。
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (一)
試寫出桌球達終端速度時所受到池水的阻力 F（或稱拖曳力 Drag force）與阻力係數相關之公式（參考圖一），池水的密度為ρ。（圖中 cylinder：圓柱，sphere：圓球）（5 分）
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看到此題應直接聯想到流體力學中外部流場（External Flow）的阻力（Drag force）定義。阻力的大小由流體動壓（1/2 ρU²）、物體的迎風投影面積（A）以及無因次的阻力係數（C_D）三個要素相乘決定，對於球體而言，需注意投影面積為圓面積而非球體表面積。
小題 (二)
試繪圖說明達終端速度時，桌球所有的受力情形。（球體積 V = 4/3 * $\pi * (D/2)^3$）（5 分）
思路引導 VIP
看到「終端速度」，立刻聯想「加速度為零，合力為零」。針對在水中上浮的球體，確認三個關鍵作用力：向上的浮力、向下的重力，以及與運動方向相反的流體阻力。繪製自由體圖（FBD）並列出靜力平衡方程式即可拿分。
小題 (三)
根據圖一的阻力係數 CD 圖，假設桌球達終端速度時的流況雷諾數介於 5×10^4 至 10^5，試算出終端速度 U（ρ= 1000 kg /m^3）。（10 分）
思路引導 VIP
面對求終端速度的問題，首先要想到「靜力平衡」，即物體等速運動時合力為零。在此題中，需以桌球為控制體積畫出受力圖，列出垂直方向的力平衡方程式（向上浮力 = 向下重力 + 向下阻力）。接著，計算出浮力並求得實際阻力大小後，利用題幹給定的雷諾數條件從圖表讀取正確的阻力係數（C_D），最後代入流體阻力公式即可解出終端速度。
小題 (四)
已知當時池水的運動黏性係數ν 為1×10^-6 m^2/s ，試檢查流況雷諾數是否真的介於5×10^4 至10^5之間？若否，試說明應該如何修正？（5 分）
思路引導 VIP
本題測驗流體力學中終端速度的計算與圖表應用。解題關鍵在於先透過靜力平衡（浮力 = 重量 + 阻力）求出速度與阻力係數的關係式，接著將假設區間的 $C_D$ 值代入檢驗 $Re$，若不符合假設，則需說明使用『試誤法（Iterative method）』反覆查圖收斂的修正過程。