地特四等申論題
112年
[環境工程] 流體力學概要
第 一 題
一、已知一半導體工廠，其清洗晶片的超純水供水系統的水管內徑為 R，管內水的流速分布函數為 V(r) = V_max [1 - (r^n / R^n)]，其中 r 為管內任意一點到管的中心軸線垂直距離（即徑向距離），假設超純水的動力黏滯係數（dynamic viscosity）為μ，試推導超純水供水系統中每單位長度水管中水流作用在管壁上的阻力（Drag force）大小。（20 分）
（註：流動流體剪應力（τ）公式 τ = -μ * (dV / dr) ）
（註：流動流體剪應力（τ）公式 τ = -μ * (dV / dr) ）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
看到此題，應立即聯想牛頓黏性定律與管壁剪應力的幾何關係。首先將流速分布函數對徑向距離 r 微分，求出管壁處（r=R）的壁面剪應力大小；接著將該剪應力乘上單位長度水管的內壁表面積，即可求得水流對管壁的總阻力。
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【解題思路】利用流速分布函數推導出管壁處的壁面剪應力，再將其乘上單位長度的管壁內表面積，即可建立阻力的數學模型。 【詳解】 已知：
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圓管流壁面阻力推導
💡 透過流速分布微分求得壁面剪應力，進而計算管壁總阻力。
🔗 管流阻力解析推導流程
- 1 速度梯度 — 對 $V(r)$ 進行微分求出 $dV/dr$
- 2 壁面剪力 — 代入 $r=R$ 至牛頓黏性定律公式
- 3 面積乘積 — 使用側面積 $2\pi RL$ 計算總力
- 4 單位化 — 除以 $L$ 得到最終解析解
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🔄 延伸學習：延伸學習：可連結至摩擦因子 (Friction Factor) 與壓力降計算
