第 一 題

首先，辨識本題屬於「母體均數的假設檢定」。由於母體標準差（sigma）已知且樣本數大於 30，應使用 Z 檢定。接著，設定虛無假設為公司宣稱的 250 萬，對立假設則設定為不等於（或大於，依檢定真實性之目的）。計算檢定統計量 Z 值後，對照常態分配表找出 P-值，最後根據 P-值與顯著水準 alpha 的大小關係判斷是否拒絕虛無假設。

本題要求連結「信賴區間」與「假設檢定」。核心邏輯是：若虛無假設設定的參數值（250）不在 95% 信賴區間內，則在 5% 顯著水準下應拒絕虛無假設。解題步驟為先套用公式計算 CI，再觀察 250 是否落入區間。

看到「取後放回」抽樣，應立即聯想到每次抽取的結果互不影響，具備獨立性。答題時可從抽樣機制的定義切入，並輔以聯合機率等於邊際機率相乘的統計定義 P(X1=x1, X2=x2) = P(X1=x1)P(X2=x2) 來進行嚴謹論證。

看到求「樣本平均數的抽樣分配」題型，首先應根據題意建立母體的機率分配。接著，留意「取後放回」代表每次抽樣為獨立同分配（i.i.d.），利用聯合機率等於邊際機率相乘的特性，系統性地列舉所有抽出樣本組合，計算其對應的平均數與機率，最後將相同平均數的機率合併並列表即為所求。

面對樣本平均數的動差計算題，首先應釐清母體分配（單次抽球）的機率函數，並計算出母體的期望值與變異數。接著利用「取後放回」代表隨機變數彼此獨立同分配（i.i.d.）的特性，直接代入樣本平均數的期望值與變異數公式求解，可大幅節省計算聯合機率分配的時間。

看到求樣本平均數的標準差，應立刻聯想到變異數基本公式 Var(X̄) = σ²/n。由於本題採「取後放回」，樣本間彼此獨立同分配（i.i.d.），故只需先建立單次抽出的母體機率分配，求出母體變異數 σ²，再除以樣本數 n 開根號即可求解。