普考申論題
114年
[經建行政] 統計學概要
第 一 題
📖 題組：
高速公路新竹站巡警想知道貨車平均行駛速度是否過高。隨機抽取 81（n=81）輛貨車測其車速，其平均速度為 105 公里/每小時且標準差為 6 公里/每小時。假設母體為常態分配。
高速公路新竹站巡警想知道貨車平均行駛速度是否過高。隨機抽取 81（n=81）輛貨車測其車速，其平均速度為 105 公里/每小時且標準差為 6 公里/每小時。假設母體為常態分配。
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
請問貨車平均速度是否超過 100 公里/小時。顯著水準 0.05。
(a)寫出虛無假設 H0和對立假設 H1。（5 分）
(b)寫出檢定統計量在 H0為真下的分配，並說明何以為此分配。（5 分）
(c)分別計算統計量值和 p 值，並說明檢定結果。（5 分）
(a)寫出虛無假設 H0和對立假設 H1。（5 分）
(b)寫出檢定統計量在 H0為真下的分配，並說明何以為此分配。（5 分）
(c)分別計算統計量值和 p 值，並說明檢定結果。（5 分）
思路引導 VIP
考生看到此題應先判斷這是一組「單一母體平均數的假設檢定」。關鍵在於題目明確指出「母體常態」且「母體變異數未知（僅有樣本標準差 S）」，因此嚴謹的檢定統計量應服從 t 分配；同時需注意題目問「是否超過」，故判定為右尾檢定。
小題 (二)
續(一)
(a)母體平均值未知時，其最佳估計量為何？若欲使此估計量估計母體平均值的誤差最大是 0.5 公里/小時的機率至少為 0.9，請問樣本大小應該多少？（5 分）
(b)續上題，若機率更改為至少 0.95，請問樣本大小應該多少？（5 分）
(a)母體平均值未知時，其最佳估計量為何？若欲使此估計量估計母體平均值的誤差最大是 0.5 公里/小時的機率至少為 0.9，請問樣本大小應該多少？（5 分）
(b)續上題，若機率更改為至少 0.95，請問樣本大小應該多少？（5 分）
思路引導 VIP
看到求樣本大小的題目，應立即聯想到誤差界限 (Margin of Error) 的公式。先點出母體平均數的最佳點估計量為樣本平均數，接著利用給定誤差範圍、信賴水準反推所需樣本數，注意樣本數必須『無條件進位』至整數。
📜 參考法條
附表一：z 值表
附表二：t 值表
附表三：卡方分配臨界值表
附表四：F_0.05 (v1,v2)值表
母體均值檢定與樣本大小
💡 結合假設檢定驗證母體特徵，並依誤差限額反推抽樣所需樣本數。
🔗 統計假設檢定與抽樣規劃流程
- 1 建立假設 — 設定虛無假設 H0 與對立假設 H1
- 2 選取工具 — 依樣本數 n 判定適用 Z 或 t 分配
- 3 執行檢定 — 計算統計量與 P 值進行決策判斷
- 4 樣本規劃 — 依誤差需求 (E) 估算最少樣本數 (n)
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🔄 延伸學習：延伸學習：了解顯著水準 (alpha) 與檢定力 (Power) 對樣本大小的影響。
