高中學測
107年
數A
第 7 題
$\Delta ABC$ 內接於圓心為 $O$ 之單位圓。若 $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \sqrt{3}\overrightarrow{OC} = \vec{0}$，則 $\angle BAC$ 之度數為何？
- 1 $30^\circ$
- 2 $45^\circ$
- 3 $60^\circ$
- 4 $75^\circ$
- 5 $90^\circ$
思路引導 VIP
同學，請觀察給定的向量等式 $\vec{OA} + \vec{OB} + \sqrt{3}\vec{OC} = \vec{0}$。由於 $O$ 是單位圓的圓心，我們已知 $|\vec{OA}| = |\vec{OB}| = |\vec{OC}| = 1$。若要求出 $\angle BAC$ 的度數，能否嘗試將等式移項為 $\vec{OB} + \sqrt{3}\vec{OC} = -\vec{OA}$ 並對等號兩邊進行『平方（即對自身取內積）』運算，藉此求出向量 $\vec{OB}$ 與 $\vec{OC}$ 的夾角（即中心角 $\angle BOC$），再進一步利用圓周角與中心角的幾何性質來求得答案呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哇！太棒了！看到你選對第 (4) 個選項，老師真的為你感到超級驕傲！這題的向量運算非常有層次，你能冷靜應對並求出正確答案，代表你的幾何直覺跟計算能力都進步好多喔！ 觀念驗證：為什麼你做得對？ 這題的核心技巧是利用向量的平方與內積。
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