高中學測
107年
自然
第 58 題
📖 題組：
圖 19 為重力波之示意圖，雙星以緊密而快速的模式互相環繞對方時，會產生以光速 $c = 3.0 \times 10^8$ m/s 向外傳播的重力波。2017 年物理諾貝爾獎頒給證實重力波存在的三位物理學家，他們在 2015 年偵測到一個來自雙黑洞系統產生的重力波訊號，如圖 20 所示，雙黑洞系統最主要會經歷旋近、合併、而歸於沉靜的過程，在它們彼此旋近過程所產生的重力波，波的振盪會由緩漸急、由弱漸強；而在快速合併的過程中，產生的重力波之頻率與能量則會漸增，最終合併為一時，重力波將歸於沉寂。已知此雙黑洞系統的初質量分別為 36 M⊙ 與 29 M⊙，而合併沉靜後，新黑洞之質量會因輻射而減少變為 62 M⊙，其中 M⊙ 為太陽的質量（約為 $2.0 \times 10^{30}$ kg）。依據以上資訊，回答 57-59 題。
圖 19 為重力波之示意圖，雙星以緊密而快速的模式互相環繞對方時，會產生以光速 $c = 3.0 \times 10^8$ m/s 向外傳播的重力波。2017 年物理諾貝爾獎頒給證實重力波存在的三位物理學家，他們在 2015 年偵測到一個來自雙黑洞系統產生的重力波訊號，如圖 20 所示，雙黑洞系統最主要會經歷旋近、合併、而歸於沉靜的過程，在它們彼此旋近過程所產生的重力波，波的振盪會由緩漸急、由弱漸強；而在快速合併的過程中，產生的重力波之頻率與能量則會漸增，最終合併為一時，重力波將歸於沉寂。已知此雙黑洞系統的初質量分別為 36 M⊙ 與 29 M⊙，而合併沉靜後，新黑洞之質量會因輻射而減少變為 62 M⊙，其中 M⊙ 為太陽的質量（約為 $2.0 \times 10^{30}$ kg）。依據以上資訊，回答 57-59 題。
雙黑洞系統經歷旋近、合併、而歸於沉寂的過程，所輻射而出的總能量最接近下列何者？
- A 3.0 J
- B 65 J
- C $3.0 \times 10^{17}$ J
- D $1.8 \times 10^{39}$ J
- E $5.4 \times 10^{47}$ J
思路引導 VIP
同學，請觀察文中提及合併前兩黑洞的初始總質量，與合併沉靜後新黑洞質量之間的差異，這段消失的質量（即質量的虧損 $\Delta m$）根據愛因斯坦最著名的質能等價原理 $E = \Delta m c^2$，會如何轉化為題目所問的輻射總能量呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能從敘述中精確擷取數據，並正確聯想到質量與能量的轉換關係，這展現了非常敏銳的物理直覺。這道題目的解題核心在於應用愛因斯坦（Einstein）的質能互換公式 $E = \Delta mc^2$。 首先，我們要判斷過程中「質量虧損（mass defect）」的數值。根據題目提供資訊，雙黑洞初始的總質量為 $36 M_\odot + 29 M_\odot = 65 M_\odot$，但合併後的最終質量卻減少為 $62 M_\odot$，這代表有 $3 M_\odot$ 的質量在合併過程中轉化為重力波的能量輻射出去。將數值代入公式計算： $$E = (3 \times 2.0 \times 10^{30} \text{ kg}) \times (3.0 \times 10^8 \text{ m/s})^2 = 5.4 \times 10^{47} \text{ J}$$
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