高考申論題 107年 [電力工程] 工程數學

第三題

📖 題組：
若 A 與 B 互為相似（similar）之 n × n 矩陣，trace(A)為矩陣 A 之跡數（trace）且 λ 為任意常數，令 I 為 n × n 單位矩陣，試證明：

📝 此題為申論題，共 3 小題

小題 (三)

det(λI+A) = det(λI+B)。（5 分）

利用第一小題的結論（λI+A 與 λI+B 相似），並結合行列式的乘法性質：det(XYZ) = det(X)det(Y)det(Z) 來證明。

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【解題思路】利用行列式乘法性質 $det(XY) = det(X)det(Y)$ 及第一題的相似結論推導。【詳解】已知：由第(一)小題可知 $\lambda I + B = P^{-1}(\lambda I + A)P$。

λI+A 與 λI+B 相似。（5 分）

根據相似矩陣的定義，若 A 與 B 相似，則存在可逆矩陣 P 使得 B = P⁻¹AP。試著將 λI+B 用 P 展開，並利用純量矩陣可與任何矩陣交換的特性來證明。

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【解題思路】利用相似矩陣定義證明。【詳解】已知：A 與 B 互為相似矩陣，故存在一可逆矩陣 $P$ 使得 $B = P^{-1}AP$。

trace(A) = trace(B)。（5 分）

運用矩陣跡數 (trace) 的重要性質：trace(XY) = trace(YX)，將 B = P⁻¹AP 代入 trace(B) 的式子中進行推導。

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【解題思路】利用矩陣跡數性質 $trace(XY) = trace(YX)$ 證明。【詳解】已知：A 與 B 相似，存在可逆矩陣 $P$ 使得 $B = P^{-1}AP$。

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