高考申論題
105年
[電力工程] 工程數學
第 二 題
設矩陣 A = \begin{bmatrix} 0 & 2 \ 1 & 0 \end{bmatrix}，求 A^{49}。（15 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
遇到求矩陣的高次方，最直接的方法是計算 A 的前幾次方來尋找規律。若 A 的某次方等於純量矩陣（kI），則利用指數律 A^n = A^{mk+r} = (A^k)^m \cdot A^r 就能快速得到結果。
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AI 詳解
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【解題思路】透過矩陣乘法觀察 $A^2, A^3$ 的規律，利用指數律降階求解。 【詳解】 已知：$A = \begin{bmatrix} 0 & 2 \ 1 & 0 \end{bmatrix}$
▼ 還有更多解析內容
矩陣高次方運算
💡 透過尋找矩陣乘法規律與指數律降階計算高次方矩陣。
🔗 高次方矩陣降階求解流程
- 1 觀察規律 — 計算 A 的平方項尋找規律
- 2 建立關係 — 確認 A^2 等於純量倍數之 I
- 3 指數拆分 — 利用指數律將 A^n 進行降階
- 4 代換簡化 — 以單位矩陣性質消去高次方項
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🔄 延伸學習：延伸學習：若無法直接找出規律，可使用凱萊-哈密頓定理或對角化求解。
